Pembahasan Lengkap - Logika Matematika
Tes Intelegensia Umum CPNS - salah satu sub tes yang dihadapi peserta dalam seleksi kompetensi dasar (SKD) CPNS adalah tes intelegensia umum. Pada sub tes intelegensia umum, peserta diberikan soal yang telah diacak oleh sistem computer assisted test (CAT). Salah satu soal yang biasanya keluar dalam sub tes intelegensia umum adalah soal tentang logika matematika.
1. Definisi Logika Matematika
Apa yang dimaksud dengan logika matematika ? Logika matematika adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang cara penarikan suatu kesimpulan dari pernyataan-pernyataan yang diberikan. Dengan mempelajari logika matematika, kita dilatih untuk berpikir logis dalam menganalisis pernyataan-pernyataan yang ada sehingga menghasilkan kesimpulan yang masuk akal.
2. Definisi Pernyataan
Untuk mempelajari logika matematika, hal yang harus pertama diketahui adalah tentang pernyataan. Apa yang dimaksud dengan pernyataan ? Pernyataan adalah kalimat tertutup yang sudah jelas nilai kebenarannya (tidak mengandung hal, unsur, variabel yang belum jelas kebenarannya) dan jawabannya hanya ada dua, yaitu benar atau salah. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut :
Ibu kota Indonesia adalah Jakarta.
Kalimat tersebut merupakan contoh dari pernyataan, alasannya karena kalimat, "Ibu kota Indonesia adalah jakarta" bila dianalisis nilainya kebenarannya sudah jelas dan jawabannya tertutup hanya menghasilkan dua jawaban yaitu benar atau salah saja, tidak ada jawaban lainnya.
Bagaimana cara memasang lampu ?
Kalimat tersebut bukan merupakan contoh dari pernyataan, alasannya karena kalimat, "Bagaimana cara memasang lampu ?" bila dianalisis jawabannya terbuka, tidak menghasilkan benar atau salah saja, karena tidak masuk akal bila kita mendengar kalimat tersebut dan menjawab dengan benar atau salah.
Contoh lain yang termasuk pernyataan :
- Bendera Indonesia warnanya merah putih.
- Bika ambon berasal dari medan.
- Presiden RI pertama adalah Ir. Soekarno.
Contoh lain yang bukan termasuk pernyataan :
- Sebutkan bilangan prima antara 1 sampai 20.
- Semoga Anda lulus ujian.
- Mari kita pergi ke sekolah.
Secara garis besar, pernyataan dibagi menjadi dua, yaitu pernyataan yang bernilai benar dan pernyataan yang bernilai salah. Perhatikan contoh berikut ini :
- Lambang sila pertama pancasila adalah bintang (pernyataan bernilai benar).
- Lambang sila kedua pancasila adalah kepala banteng (pernyataan bernilai salah).
- Satu tahun terdiri dari dua belas bulan (pernyataan bernilai benar).
- Satu hari terdiri dari dua puluh lima jam (pernyataan bernilai salah).
Dalam kaitannya logika matematika, simbol pernyataan biasanya ditulis dengan huruf alfabet kecil dari a-z. Namun, biasanya dalam pelajaran logika matematika disekolah, huruf alfabet kecil yang umumnya digunakan adalah huruf : p, q, r.
3. Ingkaran Pernyataan
Pernyataan-pernyataan yang ada didalam logika matematika, bisa kita ubah nilainya, baik itu dari benar menjadi salah atau dari salah menjadi benar. Pengubahan nilai kebenaran dari suatu pernyataan disebut sebagai ingkaran. Nama lain dari ingkaran adalah negasi atau penyangkalan. Simbol dari ingkaran adalah ( ).
Pada pembahasan awal, telah disebutkan bahwa biasanya pernyataan dalam logika ditulis dengan huruf alfabel kecil yang umumnya huruf : p, q, r. Maka, untuk menulis ingkaran simbolnya adalah :
p, q, r.
Contoh :
p : Lambang sila ketiga pancasila adalah pohon beringin (pernyatan bernilai benar)
Ingkaran :
p : Lambang sila ketiga pancasila bukan pohon beringin (pernyataan bernilai salah)
Contoh :
p : Satu minggu terdiri dari sepuluh hari (pernyataan bernilai salah)
Ingkaran :
p : Tidaklah benar satu minggu terdiri dari sepuluh hari (pernyataan bernilai benar)
Catatan :
Titik fokus dari ingkaran adalah mengubah nilai kebenaran dari benar menjadi salah atau dari salah menjadi benar. Kata yang dapat digunakan untuk mengubah pernyataan menjadi ingkaran adalah dengan menambahkan kata tidak, bukan atau tidaklah benar.
Namun, bila pada awalnya pernyataan sudah mengandung kata tidak, bukan atau tidaklah benar, maka ingkarannya adalah dengan membuang kata tidak, bukan atau tidaklah benar tersebut dari pernyataan.
Contoh :
p : Ibu kota Indonesia bukan Washington DC (pernyataan bernilai benar)
p : Ibu kota Indonesia adalah Washington DC (pernyataan bernilai salah)
p : Ikan tidak memiliki belalai (pernyataan bernilai benar)
p : Ikan memiliki belalai (pernyataan bernilai salah)
Bisa dilihat, meskipun suatu pernyataan mengandung kata tidak atau bukan, tapi tidak bisa langsung dikatakan ingkaran, karena titik fokus ingkaran adalah mengubah nilai dari benar menjadi salah atau dari salah menjadi benar.
Namun, bila pada awalnya pernyataan sudah mengandung kata tidak, bukan atau tidaklah benar, maka ingkarannya adalah dengan membuang kata tidak, bukan atau tidaklah benar tersebut dari pernyataan.
Contoh :
p : Ibu kota Indonesia bukan Washington DC (pernyataan bernilai benar)
p : Ibu kota Indonesia adalah Washington DC (pernyataan bernilai salah)
p : Ikan tidak memiliki belalai (pernyataan bernilai benar)
p : Ikan memiliki belalai (pernyataan bernilai salah)
Bisa dilihat, meskipun suatu pernyataan mengandung kata tidak atau bukan, tapi tidak bisa langsung dikatakan ingkaran, karena titik fokus ingkaran adalah mengubah nilai dari benar menjadi salah atau dari salah menjadi benar.
Untuk memudahkan pemahaman, perhatikan tabel kebenaran berikut ini :
 |
| Tabel Kebenaran Ingkaran |
Keterangan :
p : pernyataan
q : ingkaran pernyataan
B : pernyataan bernilai benar
S : pernyataan bernilai salah
Jika pernyataan (p) bernilai benar, maka ingkarannya ( p) bernilai salah. Kemudian, jika pernyataan (p) bernilai salah, maka ingkarannya ( p) bernilai benar.
3. Pernyataan Majemuk
p : pernyataan
q : ingkaran pernyataan
B : pernyataan bernilai benar
S : pernyataan bernilai salah
Jika pernyataan (p) bernilai benar, maka ingkarannya ( p) bernilai salah. Kemudian, jika pernyataan (p) bernilai salah, maka ingkarannya ( p) bernilai benar.
3. Pernyataan Majemuk
Suatu pernyataan dengan pernyataan lainnya dapat kita gabungkan. Gabungan antara suatu pernyataan dengan pernyataan lainnya disebut dengan pernyataan majemuk. Kata penghubung yang digunakan pada pernyataan majemuk dalam kaitannya logika matematika adalah :
a. Konjungsi
Salah satu kata penghubung dalam pernyataan majemuk adalah konjungsi. Konjungsi diwakili dengan kata dan. Adapun simbol dari konjungsi adalah wedge (∧).
Contoh :
p : Lagu kebangsaan Indonesia adalah Indonesia Raya. (pernyataan bernilai benar)
q : Ibu kota Malaysia adalah Kuala Lumpur (pernyataan bernilai benar)
p∧q :Lagu kebangsaan Indonesia adalah Indonesia Raya dan ibu kota Malaysia adalah Kuala Lumpur (pernyataan majemuk bernilai benar)
Pada konjungsi, apabila pernyataan 1 (p) bernilai benar dan pernyataan 2 (q) bernilai benar, maka pernyataan majemuknya bernilai benar pula.
contoh :
p : Mata uang Indonesia adalah rupiah (pernyataan bernilai benar)
q : Lambang negara Indonesia adalah Burung Cendrawasih (pernyataan bernilai salah)
p∧q : Mata uang Indonesia adalah rupiah dan lambang negara Indonesia adalah Burung Cendrawasih (pernyataan bernilai salah)
Pada konjungsi, apabila pernyataan 1 (p) bernilai benar dan pernyataan 2 (q) bernilai salah, maka pernyataan majemuknya bernilai salah. Alasannya, karena dalam konjungsi pernyataan majemuk bernilai benar hanya jika kedua pernyataannya bernilai benar.
contoh :
p : Tiga adalah bilangan genap (pernyataan bernilai salah)
q : Tiga adalah bilangan prima (pernyataan bernilai benar)
p∧q : Tiga adalah bilangan genap dan prima (pernyataan bernilai salah)
contoh :
p : Sembilan adalah bilangan genap (pernyataan bernilai salah)
q : Sembilan adalah bilangan prima (pernyataan bernilai salah)
p∧q : Sembilan adalah bilangan genap dan prima (pernyataan bernilai salah)
Pada konjungsi pernyataan majemuk hanya akan bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel kebenaran konjungsi berikut ini :
b. Disjungsi
Kata penghubung lainnya dalam pernyataan majemuk adalah disjungsi. Disjungsi diwakili dengan kata atau. Adapun simbol dari disjungsi adalah vel (∨). Perhatikan tabel kebenaran berikut ini :
Tips cepat : untuk mengetahui kebenaran disjungsi sehingga tidak tertukar dengan konjungsi, bisa dilakukan dengan cara membuat contoh pernyataan majemuk sederhana, kemudian pahami isinya, maka secara cepat Anda dapat menentukan nilai kebenarannya tanpa tertukar dengan konjungsi.
Contoh :
p : Empat adalah bilangan genap (pernyataan bernilai benar)
q : Empat adalah bilangan prima (pernyataan bernilai salah)
p∨q : Empat adalah bilangan genap atau prima
Kata atau mengandung isyarat pemilihan, jadi bila ada salah satu pernyataan bernilai salah, maka yang salah bisa diabaikan dan pernyataan yang benar dapat diambil. Dalam pernyataan majemuk disjungsi pernyataan hanya akan bernilai salah jika pernyataan 1 (p) dan pernyataan 2 (q) keduanya bernilai salah.
c. Implikasi
Salah satu pernyataan majemuk dalam logika matematika adalah implikasi. Implikasi diwakili dengan kata jika .... maka .... Adapun simbol dari implikasi adalah tanda panah ke kanan (⇒). Perhatikan tabel kebenaran berikut ini :
Salah satu kata penghubung dalam pernyataan majemuk adalah konjungsi. Konjungsi diwakili dengan kata dan. Adapun simbol dari konjungsi adalah wedge (∧).
Contoh :
p : Lagu kebangsaan Indonesia adalah Indonesia Raya. (pernyataan bernilai benar)
q : Ibu kota Malaysia adalah Kuala Lumpur (pernyataan bernilai benar)
p∧q :Lagu kebangsaan Indonesia adalah Indonesia Raya dan ibu kota Malaysia adalah Kuala Lumpur (pernyataan majemuk bernilai benar)
Pada konjungsi, apabila pernyataan 1 (p) bernilai benar dan pernyataan 2 (q) bernilai benar, maka pernyataan majemuknya bernilai benar pula.
contoh :
p : Mata uang Indonesia adalah rupiah (pernyataan bernilai benar)
q : Lambang negara Indonesia adalah Burung Cendrawasih (pernyataan bernilai salah)
p∧q : Mata uang Indonesia adalah rupiah dan lambang negara Indonesia adalah Burung Cendrawasih (pernyataan bernilai salah)
Pada konjungsi, apabila pernyataan 1 (p) bernilai benar dan pernyataan 2 (q) bernilai salah, maka pernyataan majemuknya bernilai salah. Alasannya, karena dalam konjungsi pernyataan majemuk bernilai benar hanya jika kedua pernyataannya bernilai benar.
contoh :
p : Tiga adalah bilangan genap (pernyataan bernilai salah)
q : Tiga adalah bilangan prima (pernyataan bernilai benar)
p∧q : Tiga adalah bilangan genap dan prima (pernyataan bernilai salah)
contoh :
p : Sembilan adalah bilangan genap (pernyataan bernilai salah)
q : Sembilan adalah bilangan prima (pernyataan bernilai salah)
p∧q : Sembilan adalah bilangan genap dan prima (pernyataan bernilai salah)
Pada konjungsi pernyataan majemuk hanya akan bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel kebenaran konjungsi berikut ini :
 |
| Tabel kebenaran konjungsi |
Kata penghubung lainnya dalam pernyataan majemuk adalah disjungsi. Disjungsi diwakili dengan kata atau. Adapun simbol dari disjungsi adalah vel (∨). Perhatikan tabel kebenaran berikut ini :
 |
| Tabel kebenaran disjungsi |
Contoh :
p : Empat adalah bilangan genap (pernyataan bernilai benar)
q : Empat adalah bilangan prima (pernyataan bernilai salah)
p∨q : Empat adalah bilangan genap atau prima
Kata atau mengandung isyarat pemilihan, jadi bila ada salah satu pernyataan bernilai salah, maka yang salah bisa diabaikan dan pernyataan yang benar dapat diambil. Dalam pernyataan majemuk disjungsi pernyataan hanya akan bernilai salah jika pernyataan 1 (p) dan pernyataan 2 (q) keduanya bernilai salah.
c. Implikasi
Salah satu pernyataan majemuk dalam logika matematika adalah implikasi. Implikasi diwakili dengan kata jika .... maka .... Adapun simbol dari implikasi adalah tanda panah ke kanan (⇒). Perhatikan tabel kebenaran berikut ini :
 |
| Tabel kebenaran implikasi |
Berdasarkan tabel kebenaran tersebut, pernyataan majemuk implikasi hanya akan bernilai salah jika pernyataan sebab (pernyataan p) bernilai benar dan akibat (pernyataan q) bernilai salah.
d. Biimplikasi
d. Biimplikasi
Pernyataan majemuk lainnya yang terdapat dalam matematika adalah biimplikasi. Biimplikasi diwakili dengan kata jika dan hanya jika. Adapun simbol dari biimplikasi adalah tanda panah ke kiri dan ke kanan (⇔). Perhatikan tabel kebenaran berikut ini :
Berdasarkan tabel kebenaran tersebut, pernyataan majemuk biimplikasi hanya akan bernilai benar jika antara pernyataan sebab (pernyataan p) dan pernyataan akibat (pernyataan q) nilainya sama-sama benar maupun sama-sama salah.
4. Konvers, Invers dan Kontraposisi
Salah satu bentuk pernyataan majemuk dalam logika matematika adalah pernyatan majemuk implikasi. Pada pernyataan majemuk implikasi, kita bisa mengubah posisi dan bentuk pernyataannya dengan menggunakan konvers, invers dan kontraposisi.
Konvers mengubah posisi sebab menjadi akibat dan posisi akibat menjadi sebab pada pernyataan majemuk implikasi. Berdasarkan uraian tersebut, maka pernyataan majemuk implikasi p⇒q, bila diubah menjadi konvers hasilnya adalah q⇒p.
Perhatikan contoh berikut :
p : Hari ini cuaca cerah
q : Ibu pergi ke pasar
p⇒q : Jika hari ini cuaca cerah maka ibu pergi ke pasar
konvers (q⇒p) : Jika ibu pergi ke pasar maka hari ini cuaca cerah.
Invers mengubah setiap pernyataan dalam implikasi, baik pernyataan sebab (pernyataan p) maupun pernyataan akibat (pernyataan q) menjadi bentuk ingkarannya. Berdasarkann uraian tersebut, maka pernyataan majemuk implikasi p⇒q, bila diubah menjadi invers hasilnya adalah p⇒ q.
Perhatikan contoh berikut :
p : Hari ini cuaca cerah
q : Ibu pergi ke pasar
p⇒q : Jika hari ini cuaca cerah maka ibu pergi ke pasar
invers ( p⇒ q) : jika hari ini cuaca tidak cerah maka ibu tidak pergi ke pasar
Kontraposisi merupakan gabungan dari konvers dan invers. Kontraposisi mengubah posisi sebab menjadi akibat dan posisi akibat menjadi sebab pada pernyataan majemuk implikasi. kemudian setelah mengubah posisinya, kontraposisi pun mengubah setiap pernyataan implikasi yang telah diubah posisinya menjadi bentuk ingkarannya. Berdasarkan uraian tersebut, maka pernyataan majemuk implikasi p⇒q, bila diubah menjadi kontraposisi hasilnya adalah q⇒ p.
Perhatikan contoh berikut :
p : Hari ini cuaca cerah
q : Ibu pergi ke pasar
p⇒q : Jika hari ini cuaca cerah maka ibu pergi ke pasar
kontraposisi ( q⇒ p) : jika ibu tidak pergi ke pasar maka hari ini cuaca tidak cerah
5. Pernyataan Majemuk senilai
Dalam logika matematika, suatu pernyataan majemuk memiliki bentuk lain yang kebenarannya senilai (nilai kebenarannya sama) dengan kebenaran pernyataan majemuk yang sedang diperbandingkan. Pernyataan majemuk senilai disebut dengan istilah ekuivalensi. Adapun simbol dari ekuivalensi adalah tiga garis horizontal (≡).
Berikut daftar ekuivalensi dari pernyataan majemuk implikasi :
a. p⇒q ≡ p∨q
Keterangan :
Pernyataan majemuk implikasi jika p maka q (p⇒q) memiliki ekuivalensi (nilai kebenarannya sama) dengan pernyataan majemuk disjungsi ingkaran p atau q ( p∨q).
Contoh :
p : Hari ini cuaca cerah
q : Ibu pergi ke pasar
p⇒q : Jika hari ini cuaca cerah maka ibu pergi ke pasar
p∨q : Hari ini cuaca tidak cerah atau ibu pergi ke pasar
Bagi yang penasaran, mengapa p⇒q ekuivalensi dengan p∨q bisa dibuktikan dengan menggunakan tabel kebenaran berikut ini :
b. p⇒q ≡ q⇒ p
Keterangan :
Pernyataan majemuk implikasi jika p maka q (p⇒q), memiliki ekuivalensi dengan kontraposisi dari implikasi ( q⇒ p).
Contoh :
p : Hari ini cuaca cerah
q : Adik bermain bola di lapangan
p⇒q : Jika hari ini cuaca cerah maka adik bermain bola di lapangan
q⇒ p : Jika adik tidak bermain bola di lapangan maka hari ini cuaca tidak cerah
Bagi yang penasaran mengapa implikasi (p⇒q) memiliki ekuivalensi dengan kontraposisi implikasi ( q⇒ p) dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran berikut ini :
Bentuk ekuivalensi lainnya, bisa dibuktikan dengan tabel kebenaran :
c. p∧q ≡ q∧p [sifat komutatif]
d. p∨q ≡ q∨p [sifat komputatif]
e. p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r) [sifat distributif]
f. p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r) [sifat distributif]
g. p∧(q∧r) ≡ (p∧q)∧r [sifat asosiatif]
h. p∨(q∨r) ≡ (p∨q)∨r [sifat asosiatif]
i. (p∧q) ≡ p∨ q [hukum de morgan]
j. (p∨q) ≡ p∧ q [hukum de morgan]
k. p⇔q ≡ (p⇒q)∧(q⇒p) [Ekuivalensi biimplikasi]
l. (p⇔q) ≡ (p∧ q)∨(q∧ p) [Ekuivalensi negasi biimplikasi]
m. q⇒p ≡ p⇒ q [konvers ekuivalensi invers]
6. Pernyataan Berkuantor
Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang memiliki ukuran kuantitas. Ukuran kuantitas yang dimaksud secara garis besar dibagi menjadi dua, yaitu : kuantitas menyeluruh (kuantor universal) dan kuantitas sebagian/khusus (kuantor eksistensial).
a. Kuantor Universal
Untuk membedakan kuantor universal dan kuantor eksistensial bisa dilihat dari kata yang digunakan dalam suatu pernyataan. Untuk kuantor universal kata yang digunakan adalah : semua, setiap, seluruh. Lambang untuk kuantor universal adalah mirip huruf A terbalik (∀).
Contoh pernyataan berkuantor universal :
Semua hewan karnivora memakan daging.
Setiap manusia akan mati.
Seluruh manusia membutuhkan makan untuk hidup.
Pernyataan berkuantor universal dapat dibuat pernyataan ingkarannya. Untuk membuat ingkaran dari pernyataan berkuantor universal bisa dilakukan dengan dua cara, yaitu mengubah bentuk pernyataan menjadi :
1). Tidak semua/setiap/seluruh ...
Contoh :
Tidak semua hewan karnivora memakan daging.
Tidak semua manusia akan mati.
Tidak semua manusia membutuhkan makan untuk hidup
2). Beberapa/ada ... tidak/bukan ...
Contoh :
Beberapa hewan karnivora tidak memakan daging.
Beberapa manusia tidak akan mati.
Beberapa manusia tidak membutuhkan makan untuk hidup
b. Kuantor Eksistensial
Kuantor eksistensial digunakan untuk membuat pernyataan yang menunjukan bagian dari suatu kelompok. Kata yang digunakan untuk kuantor eksistensial adalah : sebagian, ada, sementara, terdapat, beberapa. Lambang untuk kuantor eksistensial adalah mirip huruf E terbalik (∃).
Contoh pernyataan berkuantor eksistensial :
Sebagian manusia tinggal di benua Asia.
Ada karyawan terlambat masuk kantor.
Sementara hewan berkembang biak dengan bertelur.
Terdapat hewan yang memakan rumput.
Beberapa burung bisa terbang di udara.
Pernyataan berkuantor eksistensial dapat dibuat pernyataan ingkarannya. Untuk membuat ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial bisa dilakukan dengan dua cara, yaitu mengubah bentuk pernyataan menjadi :
1). Semua ... tidak/bukan ....
Contoh :
Semua manusia tidak tinggal di benua Asia.
Semua karyawan tidak terlambat masuk kantor.
Semua hewan tidak berkembang biak dengan bertelur.
Semua hewan tidak memakan rumput.
Semua burung tidak bisa terbang di udara.
2. Tidak ada ...
Contoh :
Tidak ada manusia yang tinggal di benua Asia.
Tiadak ada karyawan yang terlambat masuk kantor.
Tidak ada hewan yang berkembang biak dengan bertelur.
Tidak ada hewan yang memakan rumput.
Tidak ada burung yang bisa terbang diudara.
Pada intinya, bahwa ingkaran dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial dan ingkaran dari kuantor eksistensial adalah ketiadaan.
7. Penarikan Kesimpulan
Secara garis besar terdapat tiga cara dalam penarikan kesimpulan, yaitu : modus ponens, modus tollens dan silogisme. Adapun sebelum mempelajari ketiga cara penarikan kesimpulan tersebut, kita perlu mengetahui terlebih dahulu tentang premis. Apa yang dimaksud dengan premis ?
Premis adalah pernyataan yang dijadikan dasar dalam penarikan suatu kesimpulan. Pernyataan tersebut bisa berupa pernyataan majemuk atau pernyataan tunggal. Dalam penarikan kesimpulan, kita harus memperhatikan semua premis-premis yang diberikan, karena premis yang diberikan haruslah sesuatu hal yang dapat ditentukan nilai kebenarannya.
a. Modus Ponens
Modus ponens adalah cara menarik kesimpulan dari premis-premis yang diberikan. Adapun modus ponens dapat digunakan apabila adanya pernyataan majemuk implikasi dan pernyataan tunggal.
Bentuk umum dari modus ponens adalah :
Premis 1 : p⇒q
Premis 2 : p
Kesimpulan : q
Contoh modus ponens :
Premis 1 : Jika hari ini cuaca cerah maka ibu pergi ke pasar
Premis 2 : Hari ini cuaca cerah
Kesimpulan : Ibu pergi ke pasar
b. Modus Tollens
Modus ponens adalah cara menarik kesimpulan dari premis-premis yang diberikan. Adapun modus tollens dapat digunakan apabila adanya pernyataan majemuk implikasi dan ingkaran pernyataan tunggal.
Bentuk umum dari modus tollens adalah :
Premis 1 : p⇒q
Premis 2 : q
Kesimpulan : p
Contoh modus tollens :
Premis 1 : Jika hari ini cuaca cerah maka ibu pergi ke pasar
Premis 2 : Ibu tidak pergi ke pasar
Kesimpulan : Hari ini cuaca tidak cerah
c. Silogisme
Silogisme adalah cara menarik kesimpulan dari premis-premis yang diberikan. Adapun silogisme dapat digunakan apabila adanya pernyataan majemuk implikasi bertemu dengan pernyataan majemuk implikasi lainnya.
Bentuk umum dari silogisme adalah :
Premis 1 : p⇒q
Premis 2 : q⇒r
Kesimpulan : p⇒r
Contoh silogisme :
Premis 1 : Jika hari ini cuaca cerah maka ibu pergi ke pasar
Premis 2 : Jika ibu pergi ke pasar maka ibu bisa berbelanja.
Kesimpulan : Jika hari ini cuaca cerah maka ibu bisa berbelanja
Contoh soal yang berkaitan dengan logika matematika :
1. Jika Retno seorang mahasiswa Teknik Kimia maka dia rajin belajar. Retno tidak rajin belajar atau dia anak pintar.
a. Retno seorang mahasiswa Teknik Kimia dan dia anak pintar
b. Retno seorang mahasiswa Teknik Kimia atau dia anak pintar
c. Jika Retno anak pintar maka dia seorang mahasiswa Teknik Kimia
d. Jika Retno seorang mahasiswa Teknik Kimia maka dia anak pintar
e. belajar maka dia anak pintar
Pembahasan jawaban soal logika matematika :
Berdasarkan soal tersebut, bisa kita lihat bahwa soal dapat dikerjakan dengan menggunakan silogisme. Mengapa dikerjakan dengan menggunakan silogisme dan tidak dikerjakan dengan modus ponens dan modus tollens ? Alasannya karena pada soal tersebut, premis yang diberikan adalah pernyataan majemuk implikasi tidak bertemu dengan pernyataan tunggal ataupun ingkaran pernyataan tunggal.
Namun, masalahnya pada silogisme kita hanya bisa menarik kesimpulan apabila pernyataan majemuk implikasi bertemu dengan pernyataan majemuk implikasi lainnya. Pada soal tersebut premis kedua bukanlah pernyataan majemuk implikasi, tetapi pernyataan majemuk disjungi. Hal ini bisa dilihat dari kata penghubungnnya yaitu kata atau.
Oleh sebab itu, kita harus mengubah pernyataan majemuk disjungsi menjadi pernyataan majemuk implikasi dengan cara menggunakan ekuivalensi (pernyataan majemuk senilai).
Premis 1 : Jika Retno seorang mahasiswa Teknik Kimia maka dia rajin belajar
Premis 2 : Retno tidak rajin belajar atau dia anak pintar.
Kita ubah premis tersebut menjadi simbol matematika, yaitu :
Premis 1 : p⇒q
Premis 2 : q∨r
Pada premis 1 tidak ada masalah karena sudah sesuai dengan bentuk pernyataan majemuk implikasi. Adapun premis 2 merupakan disjungsi sehingga bentuk ekuivalensi dari q∨r adalah q⇒r sehingga
Premis 1 : p⇒q
Premis 2 : q⇒r
Kesimpulan : p⇒r
Pilihan jawaban yang sesuai dengan kesimpulan tersebut adalah : Jika Retno seorang mahasiswa Teknik Kimia maka dia anak pintar (p⇒r). Jawaban d.
2. Pernyataan yang setara dengan “jika harga listrik naik maka harga kebutuhan pokok akan naik” adalah…
a. Harga listrik naik dan harga kebutuhan pokok naik.
b. Harga listrik tidak naik atau harga kebutuhan pokok akan naik.
c. Jika harga listrik tidak naik maka harga kebutuhan pokok akan naik.
d. Jika harga listrik tidak naik maka harga kebutuhan pokok tidak naik.
e. Jika harga listrik tidak naik maka harga kebutuhan pokok akan turun.
Pembahasan jawaban
Berdasarkan soal tersebut kita disuruh untuk mencari pernyataan yang setara atau ekuivalensi dari pernyataan majemuk, "jika harga listrik naik maka harga kebutuhan pokok akan naik. Untuk menjawab soal tersebut, kita ubah pernyataan majemuk tersebut kedalam simbol logika matematika.
Pernyataan majemuk : Jika harga listrik naik maka harga kebutuhan pokok akan naik
diubah menjadi simbol logika matematika menjadi :
Pernyataan majemuk : p⇒q
Ekuivalensi dari implikasi p⇒q adalah kontraposisi ( q⇒ p) atau bisa juga disjungsi ( p∨q). Berdasarkan pilihan jawaban dalam soal, maka jawaban yang tepat adalah jawaban b. harga listrik tidak naik atau harga kebutuhan pokok akan naik ( p∨q).
Demikian pembahasan materi tentang logika matematika yang dapat kami sampaikan. Bila ada kekeliruan dalam penjelasan yang telah kami uraikan atau ada pertanyaan tentang logika matematika yang ingin ditanyakan, mohon agar disampaikan melalui kolom komentar dibawah ini. Baca juga artikel kami lainnya untuk menambah informasi serta kesiapan diri dalam menghadapi tes CPNS, terima kasih.
 |
| Tabel kebenaran biimplikasi |
4. Konvers, Invers dan Kontraposisi
Salah satu bentuk pernyataan majemuk dalam logika matematika adalah pernyatan majemuk implikasi. Pada pernyataan majemuk implikasi, kita bisa mengubah posisi dan bentuk pernyataannya dengan menggunakan konvers, invers dan kontraposisi.
Konvers mengubah posisi sebab menjadi akibat dan posisi akibat menjadi sebab pada pernyataan majemuk implikasi. Berdasarkan uraian tersebut, maka pernyataan majemuk implikasi p⇒q, bila diubah menjadi konvers hasilnya adalah q⇒p.
Perhatikan contoh berikut :
p : Hari ini cuaca cerah
q : Ibu pergi ke pasar
p⇒q : Jika hari ini cuaca cerah maka ibu pergi ke pasar
konvers (q⇒p) : Jika ibu pergi ke pasar maka hari ini cuaca cerah.
Invers mengubah setiap pernyataan dalam implikasi, baik pernyataan sebab (pernyataan p) maupun pernyataan akibat (pernyataan q) menjadi bentuk ingkarannya. Berdasarkann uraian tersebut, maka pernyataan majemuk implikasi p⇒q, bila diubah menjadi invers hasilnya adalah p⇒ q.
Perhatikan contoh berikut :
p : Hari ini cuaca cerah
q : Ibu pergi ke pasar
p⇒q : Jika hari ini cuaca cerah maka ibu pergi ke pasar
invers ( p⇒ q) : jika hari ini cuaca tidak cerah maka ibu tidak pergi ke pasar
Kontraposisi merupakan gabungan dari konvers dan invers. Kontraposisi mengubah posisi sebab menjadi akibat dan posisi akibat menjadi sebab pada pernyataan majemuk implikasi. kemudian setelah mengubah posisinya, kontraposisi pun mengubah setiap pernyataan implikasi yang telah diubah posisinya menjadi bentuk ingkarannya. Berdasarkan uraian tersebut, maka pernyataan majemuk implikasi p⇒q, bila diubah menjadi kontraposisi hasilnya adalah q⇒ p.
Perhatikan contoh berikut :
p : Hari ini cuaca cerah
q : Ibu pergi ke pasar
p⇒q : Jika hari ini cuaca cerah maka ibu pergi ke pasar
kontraposisi ( q⇒ p) : jika ibu tidak pergi ke pasar maka hari ini cuaca tidak cerah
5. Pernyataan Majemuk senilai
Dalam logika matematika, suatu pernyataan majemuk memiliki bentuk lain yang kebenarannya senilai (nilai kebenarannya sama) dengan kebenaran pernyataan majemuk yang sedang diperbandingkan. Pernyataan majemuk senilai disebut dengan istilah ekuivalensi. Adapun simbol dari ekuivalensi adalah tiga garis horizontal (≡).
Berikut daftar ekuivalensi dari pernyataan majemuk implikasi :
a. p⇒q ≡ p∨q
Keterangan :
Pernyataan majemuk implikasi jika p maka q (p⇒q) memiliki ekuivalensi (nilai kebenarannya sama) dengan pernyataan majemuk disjungsi ingkaran p atau q ( p∨q).
Contoh :
p : Hari ini cuaca cerah
q : Ibu pergi ke pasar
p⇒q : Jika hari ini cuaca cerah maka ibu pergi ke pasar
p∨q : Hari ini cuaca tidak cerah atau ibu pergi ke pasar
Bagi yang penasaran, mengapa p⇒q ekuivalensi dengan p∨q bisa dibuktikan dengan menggunakan tabel kebenaran berikut ini :
 |
| Ekuivalensi implikasi dengan disjungsi |
Keterangan :
Pernyataan majemuk implikasi jika p maka q (p⇒q), memiliki ekuivalensi dengan kontraposisi dari implikasi ( q⇒ p).
Contoh :
p : Hari ini cuaca cerah
q : Adik bermain bola di lapangan
p⇒q : Jika hari ini cuaca cerah maka adik bermain bola di lapangan
q⇒ p : Jika adik tidak bermain bola di lapangan maka hari ini cuaca tidak cerah
Bagi yang penasaran mengapa implikasi (p⇒q) memiliki ekuivalensi dengan kontraposisi implikasi ( q⇒ p) dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran berikut ini :
 |
| Ekuivalensi implikasi dengan kontraposisi |
c. p∧q ≡ q∧p [sifat komutatif]
d. p∨q ≡ q∨p [sifat komputatif]
e. p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r) [sifat distributif]
f. p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r) [sifat distributif]
g. p∧(q∧r) ≡ (p∧q)∧r [sifat asosiatif]
h. p∨(q∨r) ≡ (p∨q)∨r [sifat asosiatif]
i. (p∧q) ≡ p∨ q [hukum de morgan]
j. (p∨q) ≡ p∧ q [hukum de morgan]
k. p⇔q ≡ (p⇒q)∧(q⇒p) [Ekuivalensi biimplikasi]
l. (p⇔q) ≡ (p∧ q)∨(q∧ p) [Ekuivalensi negasi biimplikasi]
m. q⇒p ≡ p⇒ q [konvers ekuivalensi invers]
6. Pernyataan Berkuantor
Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang memiliki ukuran kuantitas. Ukuran kuantitas yang dimaksud secara garis besar dibagi menjadi dua, yaitu : kuantitas menyeluruh (kuantor universal) dan kuantitas sebagian/khusus (kuantor eksistensial).
a. Kuantor Universal
Untuk membedakan kuantor universal dan kuantor eksistensial bisa dilihat dari kata yang digunakan dalam suatu pernyataan. Untuk kuantor universal kata yang digunakan adalah : semua, setiap, seluruh. Lambang untuk kuantor universal adalah mirip huruf A terbalik (∀).
Contoh pernyataan berkuantor universal :
Semua hewan karnivora memakan daging.
Setiap manusia akan mati.
Seluruh manusia membutuhkan makan untuk hidup.
Pernyataan berkuantor universal dapat dibuat pernyataan ingkarannya. Untuk membuat ingkaran dari pernyataan berkuantor universal bisa dilakukan dengan dua cara, yaitu mengubah bentuk pernyataan menjadi :
1). Tidak semua/setiap/seluruh ...
Contoh :
Tidak semua hewan karnivora memakan daging.
Tidak semua manusia akan mati.
Tidak semua manusia membutuhkan makan untuk hidup
2). Beberapa/ada ... tidak/bukan ...
Contoh :
Beberapa hewan karnivora tidak memakan daging.
Beberapa manusia tidak akan mati.
Beberapa manusia tidak membutuhkan makan untuk hidup
b. Kuantor Eksistensial
Kuantor eksistensial digunakan untuk membuat pernyataan yang menunjukan bagian dari suatu kelompok. Kata yang digunakan untuk kuantor eksistensial adalah : sebagian, ada, sementara, terdapat, beberapa. Lambang untuk kuantor eksistensial adalah mirip huruf E terbalik (∃).
Contoh pernyataan berkuantor eksistensial :
Sebagian manusia tinggal di benua Asia.
Ada karyawan terlambat masuk kantor.
Sementara hewan berkembang biak dengan bertelur.
Terdapat hewan yang memakan rumput.
Beberapa burung bisa terbang di udara.
Pernyataan berkuantor eksistensial dapat dibuat pernyataan ingkarannya. Untuk membuat ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial bisa dilakukan dengan dua cara, yaitu mengubah bentuk pernyataan menjadi :
1). Semua ... tidak/bukan ....
Contoh :
Semua manusia tidak tinggal di benua Asia.
Semua karyawan tidak terlambat masuk kantor.
Semua hewan tidak berkembang biak dengan bertelur.
Semua hewan tidak memakan rumput.
Semua burung tidak bisa terbang di udara.
2. Tidak ada ...
Contoh :
Tidak ada manusia yang tinggal di benua Asia.
Tiadak ada karyawan yang terlambat masuk kantor.
Tidak ada hewan yang berkembang biak dengan bertelur.
Tidak ada hewan yang memakan rumput.
Tidak ada burung yang bisa terbang diudara.
Pada intinya, bahwa ingkaran dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial dan ingkaran dari kuantor eksistensial adalah ketiadaan.
7. Penarikan Kesimpulan
Secara garis besar terdapat tiga cara dalam penarikan kesimpulan, yaitu : modus ponens, modus tollens dan silogisme. Adapun sebelum mempelajari ketiga cara penarikan kesimpulan tersebut, kita perlu mengetahui terlebih dahulu tentang premis. Apa yang dimaksud dengan premis ?
Premis adalah pernyataan yang dijadikan dasar dalam penarikan suatu kesimpulan. Pernyataan tersebut bisa berupa pernyataan majemuk atau pernyataan tunggal. Dalam penarikan kesimpulan, kita harus memperhatikan semua premis-premis yang diberikan, karena premis yang diberikan haruslah sesuatu hal yang dapat ditentukan nilai kebenarannya.
a. Modus Ponens
Modus ponens adalah cara menarik kesimpulan dari premis-premis yang diberikan. Adapun modus ponens dapat digunakan apabila adanya pernyataan majemuk implikasi dan pernyataan tunggal.
Bentuk umum dari modus ponens adalah :
Premis 1 : p⇒q
Premis 2 : p
Kesimpulan : q
Contoh modus ponens :
Premis 1 : Jika hari ini cuaca cerah maka ibu pergi ke pasar
Premis 2 : Hari ini cuaca cerah
Kesimpulan : Ibu pergi ke pasar
b. Modus Tollens
Modus ponens adalah cara menarik kesimpulan dari premis-premis yang diberikan. Adapun modus tollens dapat digunakan apabila adanya pernyataan majemuk implikasi dan ingkaran pernyataan tunggal.
Bentuk umum dari modus tollens adalah :
Premis 1 : p⇒q
Premis 2 : q
Kesimpulan : p
Contoh modus tollens :
Premis 1 : Jika hari ini cuaca cerah maka ibu pergi ke pasar
Premis 2 : Ibu tidak pergi ke pasar
Kesimpulan : Hari ini cuaca tidak cerah
c. Silogisme
Silogisme adalah cara menarik kesimpulan dari premis-premis yang diberikan. Adapun silogisme dapat digunakan apabila adanya pernyataan majemuk implikasi bertemu dengan pernyataan majemuk implikasi lainnya.
Bentuk umum dari silogisme adalah :
Premis 1 : p⇒q
Premis 2 : q⇒r
Kesimpulan : p⇒r
Contoh silogisme :
Premis 1 : Jika hari ini cuaca cerah maka ibu pergi ke pasar
Premis 2 : Jika ibu pergi ke pasar maka ibu bisa berbelanja.
Kesimpulan : Jika hari ini cuaca cerah maka ibu bisa berbelanja
Contoh soal yang berkaitan dengan logika matematika :
1. Jika Retno seorang mahasiswa Teknik Kimia maka dia rajin belajar. Retno tidak rajin belajar atau dia anak pintar.
a. Retno seorang mahasiswa Teknik Kimia dan dia anak pintar
b. Retno seorang mahasiswa Teknik Kimia atau dia anak pintar
c. Jika Retno anak pintar maka dia seorang mahasiswa Teknik Kimia
d. Jika Retno seorang mahasiswa Teknik Kimia maka dia anak pintar
e. belajar maka dia anak pintar
Pembahasan jawaban soal logika matematika :
Berdasarkan soal tersebut, bisa kita lihat bahwa soal dapat dikerjakan dengan menggunakan silogisme. Mengapa dikerjakan dengan menggunakan silogisme dan tidak dikerjakan dengan modus ponens dan modus tollens ? Alasannya karena pada soal tersebut, premis yang diberikan adalah pernyataan majemuk implikasi tidak bertemu dengan pernyataan tunggal ataupun ingkaran pernyataan tunggal.
Namun, masalahnya pada silogisme kita hanya bisa menarik kesimpulan apabila pernyataan majemuk implikasi bertemu dengan pernyataan majemuk implikasi lainnya. Pada soal tersebut premis kedua bukanlah pernyataan majemuk implikasi, tetapi pernyataan majemuk disjungi. Hal ini bisa dilihat dari kata penghubungnnya yaitu kata atau.
Oleh sebab itu, kita harus mengubah pernyataan majemuk disjungsi menjadi pernyataan majemuk implikasi dengan cara menggunakan ekuivalensi (pernyataan majemuk senilai).
Premis 1 : Jika Retno seorang mahasiswa Teknik Kimia maka dia rajin belajar
Premis 2 : Retno tidak rajin belajar atau dia anak pintar.
Kita ubah premis tersebut menjadi simbol matematika, yaitu :
Premis 1 : p⇒q
Premis 2 : q∨r
Pada premis 1 tidak ada masalah karena sudah sesuai dengan bentuk pernyataan majemuk implikasi. Adapun premis 2 merupakan disjungsi sehingga bentuk ekuivalensi dari q∨r adalah q⇒r sehingga
Premis 1 : p⇒q
Premis 2 : q⇒r
Kesimpulan : p⇒r
Pilihan jawaban yang sesuai dengan kesimpulan tersebut adalah : Jika Retno seorang mahasiswa Teknik Kimia maka dia anak pintar (p⇒r). Jawaban d.
2. Pernyataan yang setara dengan “jika harga listrik naik maka harga kebutuhan pokok akan naik” adalah…
a. Harga listrik naik dan harga kebutuhan pokok naik.
b. Harga listrik tidak naik atau harga kebutuhan pokok akan naik.
c. Jika harga listrik tidak naik maka harga kebutuhan pokok akan naik.
d. Jika harga listrik tidak naik maka harga kebutuhan pokok tidak naik.
e. Jika harga listrik tidak naik maka harga kebutuhan pokok akan turun.
Pembahasan jawaban
Berdasarkan soal tersebut kita disuruh untuk mencari pernyataan yang setara atau ekuivalensi dari pernyataan majemuk, "jika harga listrik naik maka harga kebutuhan pokok akan naik. Untuk menjawab soal tersebut, kita ubah pernyataan majemuk tersebut kedalam simbol logika matematika.
Pernyataan majemuk : Jika harga listrik naik maka harga kebutuhan pokok akan naik
diubah menjadi simbol logika matematika menjadi :
Pernyataan majemuk : p⇒q
Ekuivalensi dari implikasi p⇒q adalah kontraposisi ( q⇒ p) atau bisa juga disjungsi ( p∨q). Berdasarkan pilihan jawaban dalam soal, maka jawaban yang tepat adalah jawaban b. harga listrik tidak naik atau harga kebutuhan pokok akan naik ( p∨q).
Demikian pembahasan materi tentang logika matematika yang dapat kami sampaikan. Bila ada kekeliruan dalam penjelasan yang telah kami uraikan atau ada pertanyaan tentang logika matematika yang ingin ditanyakan, mohon agar disampaikan melalui kolom komentar dibawah ini. Baca juga artikel kami lainnya untuk menambah informasi serta kesiapan diri dalam menghadapi tes CPNS, terima kasih.
Daftar Isi - Informasi dan Latihan Soal Lengkap Tes CPNS Terbaru
Daftar Isi - Informasi dan Latihan Soal Lengkap Tes P3K Terbaru
Channel Telegram Seleksi P3K dan CPNS Terbaru
